Ma Trận Khả Nghịch Là Gì

  -  
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được hotline là ma trận đơn vị chức năng trường hợp A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận thấy ma trận trên là vĩnh cửu. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên bao gồm dạng sau:


*
" data-medium-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" data-large-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" class="size-full wp-image-1098" title="mtnd1" src="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=750" alt="Ma tr�n đơn vị chức năng cấp n" srcset="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg 173w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=150 150w" sizes="(max-width: 173px) 100vw, 173px" />Ma trận đơn vị chức năng cấp n


Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là tuyệt nhất. Thật vậy, trả sử gồm hai ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề xuất I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị chức năng phải I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong những ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi kia, B được Điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận khả nghịch là gì

Nlỗi vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là nhất, vì chưng trả sử lâu dài ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây chừ, có tương đối nhiều giáo trình quốc tế đang đề cập tới có mang khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, đến A là ma trận cung cấp m x n bên trên trường số K. Khi kia, ta bảo A là khả nghịch trái nếu lâu dài ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải trường hợp mãi sau ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và khi ấy, dĩ nhiên A khả nghịch nếu như A khả nghịch trái với khả nghịch bắt buộc.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập phù hợp các ma trận vuông cung cấp n trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch do với mọi ma trận vuông cấp 2 ta hồ hết có:

*
Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) rất nhiều không khả nghịch.

Xem thêm: Từ Điển Anh Việt " Compelling Là Gì ? Đâu Là Sự Khác Biệt Giữa Compelling Và Conclusive

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Quý khách hàng hãy thừ chứng minh kết quả bên trên nhé)

3. Mối quan hệ nam nữ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2) được call là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) nếu như E chiếm được từ bỏ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phxay thay đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp loại xuất xắc cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho loại (tuyệt cột) hầu hết khả nghịch với nghịch đảo của này lại là 1 ma trận sơ cấp cho chiếc.

Ta rất có thể soát sổ trực tiếp công dụng bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 chiếc của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*
" data-medium-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300" data-large-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=542" class="size-full wp-image-1109" title="mtnd4" src="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 1" srcset="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg 542w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=150 150w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 542px) 100vw, 542px" />Ma trận sơ cấp dạng 1


*
" data-medium-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp dạng 2" srcset="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 2


*
" data-medium-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 3" srcset="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cung cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Khi đó, những xác định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy từ A vì một số trong những hữu hạn các phxay biến hóa sơ cấp chiếc (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn hiểu có thể coi chứng tỏ định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). lúc kia, các xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch Khi còn chỉ khi dạng thiết yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận trường đoản cú A bởi một trong những hữu hạn các phxay đổi khác sơ cung cấp mẫu (cột); mặt khác, bao gồm dãy những phxay thay đổi sơ cấp cái (cột) đó sẽ biến đổi In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo bởi phxay thay đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để search nghịch đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật tân oán này được thi công dựa vào kết quả thứ hai của hệ trái 3.4. Ta tiến hành công việc sau đây

Cách 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng phương pháp ghxay thêm ma trận đơn vị cấp cho n I vào mặt bắt buộc ma trận A


*
" data-medium-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n chi kân hận cấp n x 2n" srcset="https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://vietvuevent.vn.files.vietvuevent.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận bỏ ra kăn năn cấp n x 2n


Cách 2: Dùng những phxay biến hóa sơ cấp cho dòng để đưa < A|I > về dạng < A’ | B >, trong các số đó A’ là một trong ma trận cầu thang chính tắc.

Xem thêm: Cir Là Gì ? Cost Income Ratio Viết Tắt Cir Là Gì

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình biến hóa nếu như A’ xuất hiện thêm ít nhất 1 mẫu không thì chớp nhoáng kết luận A ko khả nghịch (không nhất thiết phải gửi A’ về dạng thiết yếu tắc) và chấm dứt thuật tân oán.

Ví dụ minch họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để kiếm tìm ma trận nghịch đảo của: